Dulineara formo

En matematiko, dulineara formo sur vektora spaco V estas duargumenta funkcio B(u, v), kie u kaj v estas vektoroj de la spaco V, kies valoro estas nombro el kampo F:

B: V × V → F

kaj kiu estas lineara je ĉiu el la du argumentoj:

B(u₁ + u₂, v) = B(u₁, v) + B(u₂,v)

B(u, v₁ + v₂) = B(u, v₁) + B(u, v₂)

B(ku, v) = B(u, kv) = kB(u, v)

por ĉiuj vektoroj u, u₁, u₂, v, v₁, v₂ kaj ĉiu nombro k.

La eroj de la vektoroj, la valoro de la formo kaj la nombro k povas esti reelaj aŭ kompleksaj.

Ĉiu dulineara formo sur n-dimensia vektora spaco povas esti esprimita kiel

${\displaystyle B(u,v)=x^{T}Ay=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}$

kie A estas n×n matrico, a_ij=B(e_i, e_j),

e₁, ...,e_n estas la bazaj vektoroj,

x kaj y estas kolumnaj vektoroj (n×1 matricoj), prezentoj de u kaj v en la bazo e.

Se la konsiderata vektora spaco estas spaco de n-opoj de nombroj, u kaj v povas jam esti kolumnaj vektoroj, kaj povas esti ke x estas tute la samo kiel u kaj y estas tute la samo kiel v. Sed se estas konsiderata ekzemple geometria spaco tiam vektoro ne estas ĝuste opo de nombroj, kaj necesas aparte diri per vektoro kaj ĝi prezento kiel opo (kolumno) de nombroj en donita bazo. Ankaŭ, eĉ se vektoro estas nur opo de nombroj, eblas ŝanĝi bazon (ŝanĝi koordinatosistemon), kaj tiam vektoro kaj ĝia prezento estas malsamaj; vidu sube pli detale.

Se V estas finidimensia tiam, en al iu bazo enV, dulineara formo estas degenera se kaj nur se la determinanto de la asociita matrico estas nulo. Ankaŭ, nedegenera formo estas tiu por kiu la asociita matrico estas nedegenera (nesingulara). La degenereco estas sendependa de la elektita bazo.

Seskvilineara formo estas simila al dulineara formo super kompleksaj nombroj, ĝi estas lineara je unu argumento sed estas konjugita lineara je la alia argumento.