Homogena polinomo

En matematiko, homogena polinomo aŭ algebra formo estas polinomo kies termoj estas unutermoj ĉiuj havantaj la saman tutecan gradon; aŭ estas eroj de la sama dimensio.

Ekzemple, ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9x^{1}y^{4}}$ estas homogena polinomo de grado 5 de du variabloj. Kaj ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$ ne estas homogena polinomo.

Homogena polinomo povas esti konstruita de tensoro de ordo n. Tial, se X estas vektora spaco, kaj Y estas alia spaco, tiam, por donita tensoro T:

${\displaystyle {\begin{matrix}T:&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &\to &Y\\&n&&\\\end{matrix}}}$

la homogena polinomo ${\displaystyle {\widehat {T}}(x)}$ de grado n asociita kun T estas

${\displaystyle {\widehat {T}}(x)=T(x,x,\ldots ,x)}$

En ĉi tiu formo, estas klare ke homogena polinomo estas homogena funkcio de grado n. Tio estas ke por skalaro a

${\displaystyle {\widehat {T}}(ax)=a^{n}{\widehat {T}}(x)}$

kio sekvas de la mult-lineareco de la tensoro.

Kvanto de malsamaj (nu nur je koeficiento) unutermoj de grado M de N variabloj estas

${\displaystyle {\frac {(M+N-1)!}{M!(N-1)!}}}$

Por la okazo de n=2, la tensoro estas simple kvadrata matrico, kaj la homogena polinomo estas kvadrata formo.