Variada kalkulo

Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.

Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago.

Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.