Conjunto abierto

Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que cada uno de sus elementos tiene un entorno que está incluido en el mismo conjunto;^[1]​ o, dicho de una manera más intuitiva, que ningún elemento de dicho conjunto pertenece también a la frontera de este. En términos rigurosos se dice que en cualquier elemento del conjunto puede centrarse una bola abierta que está totalmente contenida en el conjunto.^[2]​ Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo, pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico —un conjunto más una definición de distancia en él—.

Como ejemplo típico se puede evaluar el intervalo abierto (0, 1) en los números reales (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$), que se corresponde con todos los números entre 0 y 1 pero sin incluir estos, es decir, todos los números reales x con 0 < x < 1. Pues bien, intuitivamente se dice que es un conjunto abierto porque, para cualquier número x que pertenezca al conjunto, por mucho que pretendamos acercarnos a la frontera del conjunto —0 y 1—, siempre hay más elementos entre dicho número x y la frontera. Por ejemplo, si evaluamos el punto 0.9, entre este y el 1 está el 0,99, por ejemplo; al igual que entre 0,99 y 1 está el 0,999; y así sucesivamente. Siempre hay más números entre cualquier elemento del conjunto y la frontera, y es por tanto ‘abierto’. Sin embargo, en el conjunto cerrado [0, 1] entre el elemento 1 y la frontera del intervalo —que también es 1— no existen más elementos, por lo que se deduce que es en conjunto ‘cerrado’.

O valorando la explicación más rigurosa, el espacio métrico en el caso del intervalo (0, 1), denotado como (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, d), es el constituido por:

• Los elementos que pertenecen a los números reales (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$), esto es, desde ${\displaystyle \scriptstyle -\,\infty }$ a ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$.
• La función distancia que, usando la distancia euclídea (d), se define como el valor absoluto de la resta ${\displaystyle \scriptstyle |\,b\,-\,a\,|}$.

De esta manera en todo número x del conjunto (0, 1) puede centrarse una bola que está incluida dentro del conjunto; puesto que en la recta real una bola abierta centrada en un número x se corresponde con otro intervalo de la forma (x - ε, x + ε), donde epsilon es una cantidad muy pequeña, todo lo que se quiera. Así, una bola centrada en 0,9 estará dentro del conjunto, así como en 0,99 o en 0,999999, pues siempre habrá un epsilon de separación entre el punto y la frontera. Por el contrario en el conjunto cerrado [0, 1], una bola centrada en el elemento 1 quedará parcialmente fuera del conjunto.

Observe que el que un conjunto dado U sea abierto depende del espacio circundante, el "cuarto de juegos". Por ejemplo, el conjunto de los números racionales entre 0 y 1 (exclusivo) es abierto en los números racionales, pero no es abierto en los números reales. Observe también que "abierto" no es el contrario de cerrado. Primero, existen conjuntos que son ambos abiertos y cerrados, llamados conjuntos clopen, como por ejemplo el conjunto de los números racionales más pequeños que √2 en los números racionales. Segundo, hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados, como por ejemplo (0, 1] en R.

Más generalmente, un conjunto abierto es un miembro de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener cada unión de sus miembros, cada intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío, y el conjunto entero mismo. Un conjunto en el que se da tal colección se llama espacio topológico, y la colección se llama topología. Estas condiciones son muy laxas y permiten una enorme flexibilidad en la elección de los conjuntos abiertos. Por ejemplo, cada subconjunto puede ser abierto (la topología discreta), o ningún subconjunto puede ser abierto excepto el propio espacio y el conjunto vacío (la topología indiscreta).

En la práctica, sin embargo, los conjuntos abiertos suelen elegirse para proporcionar una noción de proximidad similar a la de los espacios métricos, sin tener definida una noción de distancia. En particular, una topología permite definir propiedades como continuidad, conexión y compacidad, que originalmente se definían mediante una distancia.

El caso más común de una topología sin distancia viene dado por los manifolds, que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclídeo, pero sobre los que no se define ninguna distancia en general. Topologías menos intuitivas se utilizan en otras ramas de las matemáticas; por ejemplo, la topología de Zariski, fundamental en geometría algebraica y teoría de esquemas.

1. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidad Autónoma de Madrid: 12. Archivado desde el original el 15 de marzo de 2012. «Se llaman abiertos a los conjuntos que “rodean” a todos sus puntos y así la definición global de continuidad es simplemente f ^-1 (abierto) = abierto.» .
2. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidad Autónoma de Madrid: 12. Archivado desde el original el 15 de marzo de 2012. «¿Pero qué queremos decir con “rodear” a un punto? Si se ha seguido el razonamiento anterior, quiere decir que existe una bola (abierta) centrada en ese punto y totalmente contenida en el conjunto.» 
3. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidad Autónoma de Madrid: 12. Archivado desde el original el 15 de marzo de 2012.