Desigualdad de Minkowski

En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L^p son espacios vectoriales con una norma. Sea ${\displaystyle S}$ un espacio medible, sea ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ y sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ elementos de ${\displaystyle L^{p}(S)}$. Entonces ${\displaystyle f+g}$ es de ${\displaystyle L^{p}(S)}$, y se tiene

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

con la igualdad para el caso ${\displaystyle 1<p<\infty }$ si y sólo si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que ${\displaystyle f=\lambda g}$ o ${\displaystyle g=\lambda f}$ para alguna ${\displaystyle \lambda \geq 0}$).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en ${\displaystyle L^{p}(S)}$.

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

para todos los números reales (o complejos) ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},~y_{1},\dots ,y_{n}}$ y donde ${\displaystyle n}$ es el cardinal de ${\displaystyle S}$ (el número de elementos de ${\displaystyle S}$).