Desigualdad de Ptolomeo

En geometría euclídea, la desigualdad de Ptolomeo relaciona las seis distancias determinadas por cuatro puntos en el plano o en un espacio de dimensiones superiores. Establece que, para cuatro puntos A, B, C y D, se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

Esta expresión lleva el nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo.

Los cuatro puntos se pueden ordenar de tres maneras distintas (contando las inversiones como casos repetidos), para formar tres cuadriláteros diferentes, para cada uno de los cuales la suma de los productos de lados opuestos es al menos tan grande como el producto de las diagonales. Por lo tanto, los tres términos del producto en la desigualdad se pueden permutar aditivamente para colocar a cualquiera de ellos en el lado derecho de la desigualdad, por lo que los tres productos de lados opuestos o de diagonales de cualquiera de los cuadriláteros deben obedecer a la desigualdad del triángulo.^[1]​

Como caso especial, el teorema de Ptolomeo establece que la desigualdad se convierte en igualdad cuando los cuatro puntos se encuentran en orden cíclico sobre una circunferencia. El otro caso de igualdad ocurre cuando los cuatro puntos son colineales y están en orden. La desigualdad no se generaliza desde espacios euclídeos a espacios métricos arbitrarios. Los espacios donde esta relación sigue siendo válida se denominan espacios ptolemaicos; entre los que se incluyen los espacios con producto interno, los espacios de Hadamard y las distancias de camino más cortas en los grafos ptolemaicos.

1. ↑ Schoenberg, I. J. (1940), «On metric arcs of vanishing Menger curvature», Annals of Mathematics, Second Series 41: 715-726, doi:10.2307/1968849 .