Logaritmo natural

Logaritmo Natural
Gráfica de Logaritmo Natural
Definición	${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}},x>0\,}$
Tipo	Función real
Descubridor(es)	John Napier (1614)[1]​
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Codominio	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imagen	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Propiedades	Biyectiva Cóncava Estrictamente creciente Continua Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
Función inversa	${\displaystyle e^{x}\,}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty \,}$
Funciones relacionadas	Logaritmo Función exponencial
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El Logaritmo Natural suele ser conocido como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas, se denomina Logaritmo Natural al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es ${\displaystyle 2.718281828459}$. El logaritmo natural suele denotarse por ${\displaystyle \ln(x)}$ o como ${\displaystyle \log _{e}(x)}$, y en algunos casos, si la base ${\displaystyle e}$ está implícita, como ${\displaystyle \log(x)}$.

El logaritmo natural de un número ${\displaystyle x}$ es la potencia a la cual el número ${\displaystyle e}$ debe ser elevado para ser igual a ${\displaystyle x}$. Por ejemplo, ${\displaystyle \ln(7.5)}$ es ${\displaystyle 2.0149\dots }$ pues ${\displaystyle e^{2.0149\dots }=7.5}$. El logaritmo natural de ${\displaystyle e}$ es ${\displaystyle 1}$ pues ${\displaystyle e^{1}=e}$, mientras que el logaritmo natural de ${\displaystyle 1}$ es ${\displaystyle 0}$ pues ${\displaystyle e^{0}=1}$.

Desde el punto de vista analítico, el logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo ${\displaystyle a>0}$ como el área bajo la curva ${\displaystyle y=1/x}$ entre las rectas ${\displaystyle x=1}$ y ${\displaystyle x=a}$. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.^[2]​ Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es una función real con dominio de definición los números reales positivos:

${\displaystyle {\text{ln}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$

y corresponde a la función inversa de la función exponencial natural:

${\displaystyle e^{{\text{ln}}\,x}=x{\text{, para todo }}x>0}$

${\displaystyle {\text{ln}}(e^{x})=x\!}$

La función inversa del logaritmo natural es la función exponencial.

1. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001-09), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/, consultado el 2 de febrero de 2009 .
2. ↑ Pietro Mengoli y Nicholas Mercator le dieron esta denominación por razones independientes del cálculo. Véase Ballew, Pat. «Math Words, and Some Other Words, of Interest». Archivado desde el original el 11 de febrero de 2012. Consultado el 8 de abril de 2011.  y la anterior referencia de MacTutor (2001).