Norma vectorial

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En geometría y física, una norma en un espacio vectorial es un operador que permite definir una noción de "longitud" o "tamaño" de cualquier vector. Más concretamente, dado un espacio vectorial ${\displaystyle V}$, una aplicación de ${\displaystyle V}$ en el conjunto de los números reales se dice que es una norma si es no negativa, se anula únicamente en el vector nulo y satisface la desigualdad triangular y una especie de homogeneidad.

El ejemplo por antonomasia es la norma euclídea en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, definida mediante ${\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}}$, y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero.

No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma, y cada una le confiere una estructura distinta de espacio normado. De hecho, en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ existen otras normas distintas de la euclídea, como la norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$, también llamada del taxista.

Todo producto escalar ${\displaystyle \langle ,\rangle :V\times V\to \mathbb {R} }$ produce una norma definida como ${\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$.

Cualquier norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ en ${\displaystyle V}$ genera una distancia en ${\displaystyle V}$ mediante ${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|}$; o en el espacio afín asociado mediante ${\displaystyle d(p,q)=\|{\vec {pq}}\|}$.