Plano proyectivo real

El polígono fundamental del plano proyectivo

La banda de Möbius con un solo borde, puede cerrarse en un plano proyectivo pegando juntos los bordes abiertos opuestos

En comparación, la botella de Klein es una tira de Möbius cerrada en un cilindro

En matemáticas, el plano proyectivo real es un ejemplo de una variedad bidimensional compacta no orientable; en otras palabras, una superficie unilateral. No se puede embeber en un espacio tridimensional estándar sin intersecarse. Tiene aplicaciones básicas en geometría, dado que la construcción común del plano proyectivo real coincide con la del espacio de rectas en R³ que pasan por el origen.

El plano también se describe a menudo topológicamente, en términos de una construcción basada en la banda de Möbius: si se pudiera pegar el borde (simple) de la tira de Möbius en la dirección correcta, se obtendría el plano proyectivo (lo que no es posible en el espacio tridimensional sin que la superficie se interseque consigo misma). De manera equivalente, pegar un disco a lo largo del límite de la tira de Möbius da el plano proyectivo. Topológicamente, tiene la característica de Euler 1, y por lo tanto, se trata de un semigenus (género no orientable, género de Euler) de valor 1.

Dado que la banda de Möbius, a su vez, puede construirse a partir de un cuadrado pegando dos de sus lados, el plano proyectivo real puede representarse como un cuadrado unitario (es decir, [0, 1] × [0,1]) con sus lados identificados por las siguientes relaciones de equivalencia:

(0, y ) ~ (1, 1 - y )   para 0   ≤   y   ≤   1

y

( x, 0) ~ (1 - x, 1)   para 0   ≤ x ≤ 1,

como en el diagrama de la izquierda que se muestra más abajo.