En geometría, la recta proyectiva real es la aplicación del concepto de recta proyectiva sobre los números reales. Es una extensión de la idea habitual de recta que se ha introducido históricamente para resolver un problema planteado por el dibujo en perspectiva: dos rectas paralelas no se cruzan, pero parecen cruzarse «en el infinito». Para solucionar este problema se han introducido puntos en el infinito, de forma que en un plano proyectivo real, dos líneas rectas proyectivas distintas se encuentran exactamente en un punto. El conjunto de estos puntos en el infinito, el «horizonte» de la perspectiva visual en el plano, es una verdadera recta proyectiva. Es el conjunto de direcciones que emanan de un observador situado en un punto cualquiera, con direcciones opuestas identificadas entre sí.
Un ejemplo de una recta proyectiva real es la recta real extendida proyectivamente, que a menudo se denomina "la" recta proyectiva.
Formalmente, una recta proyectiva real P(R) se define como el conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.
Los automorfismos de una recta proyectiva real se denominan transformaciones proyectivas, homografías o transformaciones fraccionarias lineales. Forman el grupo lineal proyectivo PGL(2, R). Cada elemento de PGL(2, R) puede ser definido por una matriz real no singular de 2×2, y dos matrices definen el mismo elemento de PGL(2, R) si una es el producto de la otra por un número real distinto de cero.
Topológicamente, las rectas proyectivas reales son homeomórficas a circunferencias. El análogo complejo de una recta proyectiva real es una recta proyectiva compleja; es decir, una esfera de Riemann.