Serie de Ramanujan-Sato

En matemáticas, una serie de Ramanujan-Sato^[1]​^[2]​ generaliza las fórmulas pi de Ramanujan tales como

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}}$

a la forma

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }s(k){\frac {Ak+B}{C^{k}}}}$

mediante el uso de otras secuencias de enteros bien definidas ${\displaystyle s(k)}$ obedeciendo una cierta relación de recurrencia, secuencias que pueden expresarse en términos de coeficientes binomiales ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ y ${\displaystyle A,B,C}$ empleando formas modulares de niveles superiores.

Ramanujan hizo el enigmático comentario de que había "teorías correspondientes", pero solo mucho después H. H. Chan y S. Cooper han encontrado un enfoque general que utilizaba el subgrupo de congruencia modular subyacente ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$,^[3]​ mientras que G. Almkvist ha encontrado experimentalmente numerosos otros ejemplos también con un método general que utiliza operadores diferenciales.^[4]​

Los niveles 1-4A fueron dados por Ramanujan (1914),^[5]​ el nivel 5 por H. H. Chan y S. Cooper (2012),^[3]​ el 6A por Chan, Tanigawa, Yang y Zudilin,^[6]​ el 6B por Sato (2002}},^[7]​ el 6C por H. Chan, S. Chan y Z. Liu (2004),^[1]​ el 6D por H. Chan y H. Verrill (2009),^[8]​ el nivel 7 por S. Cooper (2012),^[9]​ parte del nivel 8 por Almkvist y Guillera (2012),^[2]​ parte del nivel 10 por Y. Yang, y el resto por H. H. Chan y S. Cooper.

La notación j_n(t) se deriva de Zagier^[10]​ y T_{n se} refiere a la serie relevante de McKay-Thompson.

1. ↑ ^{a b} Chan, Heng Huat; Chan, Song Heng; Liu, Zhiguo (2004). «Domb's numbers and Ramanujan–Sato type series for 1/p». Advances in Mathematics 186 (2): 396-410. doi:10.1016/j.aim.2003.07.012. 
2. ↑ ^{a b} Almkvist, Gert; Guillera, Jesus (2013). «Ramanujan–Sato-Like Series». En Borwein, J.; Shparlinski, I.; Zudilin, eds. Number Theory and Related Fields. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. vol 43. New York: Springer. pp. 55-74. ISBN 978-1-4614-6641-3. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_2. 
3. ↑ ^{a b} Chan, H. H.; Cooper, S. (2012). «Rational analogues of Ramanujan's series for 1/p». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 153 (2): 361-383. doi:10.1017/S0305004112000254. 
4. ↑ Almkvist, G. (2012). Some conjectured formulas for 1/p coming from polytopes, K3-surfaces and Moonshine. arXiv:1211.6563. 
5. ↑ Ramanujan, S. (1914). «Modular equations and approximations to p». Quart. J. Math. (Oxford) 45. 
6. ↑ Chan; Tanigawa; Yang; Zudilin (2011). «New analogues of Clausen's identities arising from the theory of modular forms». Advances in Mathematics 228 (2): 1294-1314. doi:10.1016/j.aim.2011.06.011. 
7. ↑ Sato, T. (2002). «Apéry numbers and Ramanujan's series for 1/p». Abstract of a Talk Presented at the Annual Meeting of the Mathematical Society of Japan. 
8. ↑ Chan, H.; Verrill, H. (2009). «The Apéry numbers, the Almkvist–Zudilin Numbers, and new series for 1/p». Mathematical Research Letters 16 (3): 405-420. doi:10.4310/MRL.2009.v16.n3.a3. 
9. ↑ Cooper, S. (2012). «Sporadic sequences, modular forms and new series for 1/p». Ramanujan Journal 29 (1–3): 163-183. doi:10.1007/s11139-011-9357-3. 
10. ↑ Zagier, D. (2000). Traces of Singular Moduli. pp. 15-16.