Suma de Ramanujan

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define como

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e^(x) es la función exponencial.

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu (q/d){\frac {\phi (q)}{\phi (q/d)}}.}$