Transformada de Fourier

(Este artículo utiliza una definición alternativa de la transformada de Fourier, además de ciertos errores que están siendo corregidos)

La sinusoide roja puede describirse por amplitud de pico (1), pico a pico (2), RMS (3) y longitud de onda (4). Las sinusoides roja y azul tienen una diferencia de fase de θ.

La transformada de Fourier es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

Se denomina así por el matemático y físico francés Joseph Fourier (1768-1830).

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función ${\displaystyle f}$ con otra función ${\displaystyle g}$ definida de la manera siguiente:

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\xi \,x}dx}$

Donde ${\displaystyle f}$ es ${\displaystyle \displaystyle {L^{1}}}$, es decir, ${\displaystyle f}$ tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica, las variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \xi }$ suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo (segundos) y frecuencia (hercios) respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

${\displaystyle g(\xi )={\sqrt {\frac {\beta }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\beta \xi \,x}dx}$

la constante ${\displaystyle \beta }$ cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la matemática, ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, ${\displaystyle g}$ corresponde al espectro de frecuencias de la señal ${\displaystyle f}$.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

La transformada de Fourier también se puede generalizar a las funciones de varias variables en el espacio euclidiano, enviando una función de 3-dimensional a una función de momento 3-dimensional (o una función de espacio y tiempo a una función de cuadrimomento). Esta idea hace que la transformada espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en mecánica cuántica, donde es importante poder representar soluciones de onda como funciones de posición o de momento y, a veces, de ambos. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier son de valor complejo, y posiblemente de valor vectorial.^[1]​ Todavía es posible una mayor generalización a funciones sobre grupos, las cuales, además de la transformada de Fourier original sobre R. ^{[aclaración requerida]}o Rⁿ (vistos como grupos bajo adición), en particular incluye la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT, grupo = Z), la transformada discreta de Fourier (DFT, grupo = Z mod N) y la serie de Fourier o transformada circular de Fourier (grupo = S¹, el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos extremos identificados). Esta última se emplea habitualmente para tratar funciones periódicas. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.

1. ↑ En mecánica cuántica relativista se encuentran transformaciones de Fourier de valor vectorial de funciones de onda multicomponente. En teoría cuántica de campos, las transformadas de Fourier valoradas por operadores de funciones valoradas por operadores del espaciotiempo son de uso frecuente, véase por ejemploGreiner y Reinhardt (1996).