Korpus (matemaatika)

See artikkel räägib kommutatiivse korrutamistehtega korpusest; ilma selle nõudeta korpuse kohta vaata artiklit Kaldkorpus.

Artikkel vajab vormindamist vastavalt Vikipeedia vormistusreeglitele. (Miks see märkus siin on?) (Kuidas ja millal see märkus eemaldada?)

Olgu K mingi hulk, mis sisaldab vähemalt kaks elementi. Olgu K-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·). See tähendab, et "+" seab igale kahele K elemendile x ja y vastavusse ühe kindla K elemendi, mida nimetatakse x ja y summaks ning tähistatakse x+y-ga; samuti seab "·" neile kahele elemendile vastavusse ühe K elemendi, mida nimetatakse x ja y korrutiseks ning tähistatakse x·y-ga (või lihtsamalt xy-ga).

Selline hulk K oma kahe arvutustehtega on korpus ehk kommutatiivne korpus, kui sellel on kõik järgmised omadused:

• x+(y+z) = (x+y)+z   alati   (+-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
• K-st leidub selline element 0, et alati kehtib   0+x = x
• Igal elemendil x on K-s oma "vastandelement" −x nii, et   −x+x = 0
• x+y = y+x   alati   (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
• x·(y+z) = x·y+x·z   alati   (I distributiivsus ehk jaotuvus)
• x·(y·z) = (x·y)·z   alati   (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
• K-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib   1·x = x
• Igal elemendil x peale 0-i on K-s oma "pöördelement" x´ nii, et   x´·x = 1
• x·y = y·x   alati   (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)

Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii: elementideks võivad olla muudki objektid peale arvude. Nulliga (0) tähistatud element ei pruugi olla arv null, vaid see on lihtsalt nullelement, st liitmise neutraalne element. Samuti ei ole ühega (1) tähistatud mitte arv üks, vaid ühikelement, korrutamise neutraalne element.

Tõsi küll, just need üheksa omadust on reaalarvudel. Niisiis moodustavad reaalarvud korpuse (reaalarvude korpuse).

See, et kõik korpused ei koosne arvudest, nähtub järgmisest näitest. Siin on elementideks ainult kaks sõna, paaris ja paaritu. Elementide hulk K on niisiis väga väike: {paaris, paaritu}. Kas sõnadega saab sooritada tehteid? Saab küll, kui lepitakse kokku näiteks järgmised tulemid:

paaris+paaris = paaris,   paaris·paaris = paaris

paaritu+paaritu = paaris,   paaritu·paaritu = paaritu

paaris+paaritu = paaritu,   paaris·paaritu = paaris

paaritu+paaris = paaritu,   paaritu·paaris = paaris

Kõik võimalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad!

Pandagu eriti tähele, et paaris+x = x, olgu x kumb tahes, ja  paaritu·x = x, olgu x kumb tahes. Seega vastab paaris 2. punkti "nullelemendile" 0 ja paaritu 7. punkti "ühikelemendile" 1.

Hulgas K = {paaris, paaritu} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk Galois' korpuste sekka. Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!

Korpused on korpuseteooria põhiline uurimisobjekt.

Korpuste tuntud näited on ratsionaalarvude korpus, reaalarvude korpus, kompleksarvude korpus ja jäägiklassiringid mod p, kus p on algarv.