Funtzio esponentzial

Matematikan, funtzio esponentziala x argumentua berretzaile gisa aurkezten den ${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$ formako funtzioa da. ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$formako funtzio bat funtzio esponentziala ere bada, honela berridatz baitaiteke:

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

Aldagai erreal baten funtzio gisa, funtzio esponentzialen ezaugarri bakarra da funtzio horren hazkunde-tasa (hau da, deribatua) funtzioaren balioarekiko zuzenki proportzionala dela. Erlazio horren proportzionaltasun-konstantea b oinarrian logaritmo naturala da ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.}$ e = 2.71828... konstantea da proportzionaltasun-konstantea 1 den oinarri bakarra, eta, beraz, funtzioaren deribatua berez da: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.}$ Funtzio esponentzialaren oinarriaren aldaketak faktore konstante gehigarri baten agerpena besterik ez duenez ematen emaitza gisa, konputazionalki komenigarria da analisi matematikoan funtzio esponentzialen azterketa funtzio partikular honen azterketara murriztea, konbentzionalki "funtzio esponentzial naturala" deitua^[1][2], edo besterik gabe, "Funtzio esponentziala" eta honakoek adierazten dutena:${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ edo${\displaystyle x\mapsto \exp(x).}$ Bi notazio horiek komunak diren arren, lehena, eskuarki, adierazlerik sinpleenentzat erabiltzen da, azkena, berriz, adierazlea adierazpen konplikatua denean erabiltzera jotzen duen bitartean.

Funtzio esponentzialak biderketa-identitate funtsezkoa betetzen du${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ guztientzat. Identitate hori balio konplexuen berretzaileetara zabaltzen da. Ikus daitekeenez, ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ekuazio funtzionalaren ebazpen jarraitu bakoitza, zeroz bestelakoa, funtzio esponentzial bat da,${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},}$ oinarrizko biderketa-identitatea duena, e zenbakia e¹ gisa definitzearekin batera, erakusten du${\displaystyle e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ termino}}}}$ n osoko positiboetarako funtzio esponentziala esponentzialaren oinarrizko nozioarekin erlazionatzen duela.

Funtzio esponentzialaren argumentua edozein zenbaki erreal edo konplexu izan daiteke, baita erabat desberdina den matematika-objektu mota bat ere (adibidez, matrize bat).

Matematika puru eta aplikatuetan nonahi agertzeak W. Rudin matematikaria pentsarazi du funtzio esponentziala "matematikako funtzio garrantzitsuena" dela^[3]. Aplikatutako doikuntzetan, funtzio esponentzialek erlazio bat modelatzen dute, non aldagai askeko aldaketa konstante batek mendeko aldagaiaren aldaketa proportzional bera ematen baitu (hau da, ehunekoaren igoera edo murrizketa). Hori asko gertatzen da natur eta gizarte-zientzietan; beraz, funtzio esponentziala fisikaren, kimikaren, ingeniaritzaren, biologia matematikoaren eta ekonomiaren barruko hainbat testuingurutan ere agertzen da.

${\displaystyle y=e^{x}}$-ren grafikoa gorantz inklinatuta dago, eta x handitu ahala azkarrago handitzen da. Grafikoa beti x ardatzaren gainetik dago, baina x negatiboarentzat arbitrarioki hurbil egon daiteke; x ardatza asintota horizontal bat da. Grafikoaren ukitzailearen malda puntu bakoitzean bere koordenatuaren berdina da, eta puntu horretan, bere funtzio deribatuak adierazten duen bezala. Alderantzizko funtzioa logaritmo naturala da, ${\displaystyle \log ,}$^[4] ${\displaystyle \ln }$^[5] edo ${\displaystyle \log _{e}}$gisa idatzia, edo horren ondorioz, testu zahar batzuk^[6] funtzio esponentzialari antilogaritmo deitzen diote.

1. ↑ (Gaztelaniaz) «Fuentes de libros - Wikipedia, la enciclopedia libre» es.wikipedia.org (Noiz kontsultatua: 2023-02-02).
2. ↑ (Ingelesez) Goldstein, Larry Joel; Lay, David C.; Schneider, David I.; Asmar, Nakhle H.. (2005-12). Brief Calculus and Its Applications. Pearson Education ISBN 978-0-13-191965-5. (Noiz kontsultatua: 2023-02-02).
3. ↑ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd edición). New York: McGraw-Hill. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1
4. ↑ In pure mathematics, the notation log x generally refers to the natural logarithm of x or a logarithm in general if the base is immaterial
5. ↑ The notation ln x is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g., Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to use log x for the natural logarithm of x
6. ↑ (Ingelesez) Durell, Fletcher. (1910). Plane Trigonometry. C.E. Merrill Company (Noiz kontsultatua: 2023-02-02).