Logika matematiko

Logika matematikoa, logika sinbolikoa, logika teoretikoa, logika formala edo logistika ere deitua^[1], logikaren azterketa formal eta sinbolikoa da, eta matematikaren eta zientziaren arlo batzuetan duen aplikazioa. Logika formalaren teknikak matematikaren eta arrazoiketa matematikoaren eraikuntzan eta garapenean aplikatzea ulertzen du, eta, elkarrekin, logika formalaren irudikapenean eta analisian teknika matematikoak aplikatzea. Logika matematikoaren ikerketak berebiziko garrantzia izan du matematikaren oinarriak aztertzean.

Logika matematikoak inferentziaz aztertzen du logika proposizionala, lehen mailako logika edo logika modala bezalako sistema formalak eraikiz. Sistema hauek, lengoaia naturaletan balio duten inferentzien funtsezko ezaugarriak harrapatzen dituzte, baina, analisi matematikoa izan dezaketen egitura formalak direnez, hauei buruzko demostrazio zorrotzak egitea ahalbidetzen dute.

Logika matematikoa lau arlotan banatu ohi da: ereduen teoria, demostrazioaren teoria, multzoen teoria eta konputagarritasunaren teoria. Frogapenaren teoria eta ereduen teoria logika matematikoaren oinarria izan ziren. Multzoen teoria Georg Cantorek infinituaren azterketan sortu zen, eta logika matematikoaren gai desafiatzaile eta garrantzitsuenetako askoren iturria izan da, Cantorren teorematik, aukerako axiomatik eta continuumaren hipotesiaren independentziatik abiatuta, axioma kardinal handiei buruzko eztabaida modernora. Logika matematikoak lotura estuak ditu konputazio zientziekin. Konputagarritasunaren teoriak konputazioaren ideia termino logiko eta aritmetikoetan harrapatzen du. Bere lorpenik klasikoenak Alan Turingen Entscheidungsproblem delakoaren adierazezintasuna eta Church-Turingen tesiaren aurkezpena dira. Gaur egun, konputagarritasunaren teoria konplexutasun-moten arazo finenaz (noiz da eraginkortasunez konpon daitekeen arazoa?) eta disolbaezintasun-graduen sailkapenaz arduratzen da nagusiki.

Logika matematikoak oinarrizko nozio eta objektu matematikoen definizioak ere aztertzen ditu, hala nola, multzoak, zenbakiak, demostrazioak eta algoritmoak. Logika matematikoak dedukzio-arau formalak, hizkuntza formalen adierazpen-gaitasunak eta horien propietate metalogikoak aztertzen ditu.

Oinarrizko maila batean, logikak arauak eta teknikak ematen ditu sistema formal jakin baten barruan emandako argudio bat baliozkoa den ala ez erabakitzeko. Maila aurreratu batean, logika matematikoa teoria matematikoak axiomatizatzeko aukeraz arduratzen da, haien adierazpen-gaitasuna sailkatzeaz eta sistema formaletan baliagarriak diren metodo konputazionalak garatzeaz. Frogapenaren teoria eta alderantzizko matematika logika matematiko abstraktuaren azken arrazoibideetako bi dira. Aipatu behar da logika matematikoa bere alderdi guztietan baliokideak ez diren sistema formalez arduratzen dela, eta, beraz, logika matematikoa ez da mundu fisiko errealeko egiak aurkitzeko metodo bat, baizik eta teoria zientifikoei, bereziki matematika konbentzionalari, aplika dakizkiekeen eredu logikoen iturri posible bat.

Bestalde, logika matematikoak ez du giza arrazonamendu orokorraren kontzeptua edo argumentu zorrotzen bidez baina zenbait zeinu edo diagramarekin lengoaia informala erabiliz demostrazio matematikoak eraikitzeko prozesu sortzailea aztertzen, baizik eta erabat formaliza daitezkeen demostrazio eta arrazonamenduena.

1. ↑ Agazzi, Evandro.. (1986). La lógica simbólica. (4. ed. argitaraldia) Editorial Herder ISBN 84-254-0130-5. PMC 56760455. (Noiz kontsultatua: 2020-05-18).