Topologia

Topologia (Grekotik topos, "lekua", eta logos, "zientzia" edo "estudioa") matematikaren atal bat da, espazio topologikoak aztertzen dituena. Beraz, topologiak objektu geometrikoen propietate kualitatiboak aztertzen ditu, hau da, deformazio birjarraituez aldatzen ez diren propietateak.

Topologia hitza erabiltzen da ikasketen arlo hori deskribatzeko zein multzoen (multzo irekiak) familia bat izendatzeko, teoriaren oinarrizko kontzeptua (espazio topologikoa) definitzeko erabiltzen direnak.

Espazio topologikoaren nozioa oinarrizkoa da gaur egungo matematikan, eta matematikaren adar oso ezberdinen arteko lotura da. Baina topologia bera matematikaren adar oso zabala da. Hiru arlo nagusi ditu:

• Topologia orokorra: topologiako arlo guztien oinarria da. Espazio topologikoetatik eta haien gainean definitutako oinarrizko nozioetatik abiatuz, trinkotasuna eta konexutasuna aztertzen ditu, besteak beste. Horrez gain, topologia orokorrean espazio topologikoen arteko aplikazioak sailkatzen dira jarraitutasuna, homeomorfismoa, aplikazio propioak eta antzeko nozioak erabiliz;
• Topologia aljebraikoa: arlo honetan, aljebra abstraktuaren tresnak erabiltzen dira espazio topologikoak aztertzeko. Adibide bat oinarrizko taldea funktorea da, espazio topologiko bidez konexu bakoitzari talde bat lotzen diona. Homotopia, homologia eta antzeko nozioak aztertzen ditu;
• Topologia diferentziala: era konkretu bateko espazio topologikoen propietateak aztertzen ditu: barietate diferentziagarriak. Geometria diferentzialaren arlo auzokidea da. Teoria honen aplikazioen artean, Gauss-Boneten teorema, Morseren teoria eta Hopfen indizea ditugu..

Espazio topologikoen estudioan bereziki garrantzitsuak dira Homeomorfismoak, bere espazioko "egitura topologikoa" gordetzen duten funtzioak. Hortaz, bi espazioen artean homeomorfismo bat existitzen bada, orduan espazio horiek bereizezinak dira.