Algebra

Algebra on geometrian ja analyysin ohella yksi matematiikan päähaaroista. Algebrassa tutkimuskohteina ovat laskutoimitusten yleiset ominaisuudet jossakin perusjoukossa, jossa ne on määritelty. Tällaisia laskutoimituksia voivat olla esimerkiksi yhteen- ja kertolasku. Laskutoimitusten määritteleminen joukkoon tuottaa algebran perusrakenteet: ryhmän, renkaan ja kunnan. Esimerkiksi vektorit muodostavat ryhmän, kokonaisluvut renkaan, rationaaliluvut ja reaaliluvut kunnan.

Eri yhteyksissä algebralla voidaan tarkoittaa seuraavia:

• alkeisalgebra eli "kirjainlasku" on alkeismatematiikan haara, jossa perusjoukkona on rationaali- tai reaalilukujen joukko. Aritmetiikasta se eroaa pääasiassa siinä, että tunnettujen, numeroilla merkittyjen lukujen ohella siinä käytetään myös tuntemattomia lukuja ja muuttujia, joita merkitään yleensä kirjaimilla, varsinkin ratkaistaessa yhtälöitä.
• Nykyaikaisessa puhtaassa matematiikassa:
  • abstrakti algebra on laaja matematiikan haara, joka käsittelee relaatiota ja laskutoimituksia.
  • algebra merkitsee myös matemaattista struktuuria. A-algebra on ykkösellinen vaihdannainen rengas B, joka on varustettu rengashomomorfismilla ${\displaystyle A\to B}$.^[1]

Alkeisalgebrassa, jota opetetaan peruskoulun yläasteella ja lukiossa, otetaan käyttöön muuttujat. Lausekkeissa, joissa niitä esiintyy, käytetään rationaali- tai reaalilukujen laskutoimituksia.

Algebra nykyaikaisen matematiikan haarana on paljon laajempi kuin alkeisalgebra. Se tutkii paitsi tavallisia lukuja, myös mitä tahansa joukkoa, jossa alkioiden välille voidaan määritellä laskutoimituksia. Sen mukaan, mitkä laskutoimitukset joukossa on määritelty ja mitä ominaisuuksia niillä on, puhutaan erilaisista algebrallisista struktuureista, joista tärkeimpiä ovat:

• monoidi
• ryhmä
• rengas
• kokonaisalue
• kunta

Algebra on yksi puhtaan matematiikan päähaaroista geometrian, analyysin, topologian, kombinatoriikan ja lukuteorian ohella.

1. ↑ Qing Liu:Algebraic Geometry and Arithmetic Curves