Eulerin lause (funktioteoria)

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.

Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle e^iφ pätee yhtälö ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\,}$

missä ${\displaystyle \scriptstyle i}$ on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina.^[1] Luku z₁ = e^iφ on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen r avulla: z₂ = re^iφ. Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan ${\displaystyle z=x+yi}$:

${\displaystyle z=re^{i\phi }=r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })=r\cos {\phi }+(r\sin {\phi })i=x+yi,}$

missä r = |z|, x = r cos φ ja y = r sin φ.

1. ↑ Courant, Richard & John, Fritz: ”7.7”, Introduction to Calculus and Analysis 1. Springer, 1989. ISBN 3-540-65058-X.