Heronin kaava

Heronin kaavalla voidaan laskea kolmion pinta-ala, kun tiedetään sen kaikkien sivujen pituudet.

Formaalisti: Olkoon kolmion sivujen pituudet a, b ja c. Tällöin kolmion pinta-ala A saadaan kaavasta

${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, jossa ${\displaystyle p=(a+b+c)/2}$ on puolet kolmion piiristä.

Heronin kaava saa muodon

${\displaystyle A={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}{\rm {,}}}$

kun ${\displaystyle p}$:n lauseke sijoitetaan yllä olevaan kaavaan.

Kun merkitään ${\displaystyle S_{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ja ${\displaystyle S_{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}}$, saa kaava muodon

${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {S_{2}^{2}-2S_{4}}}.}$