Back نظرية الفئة Arabic Teoría de categoríes AST Теория на категориите Bulgarian ক্যাটাগরি তত্ত্ব Bengali/Bangla Teoria de categories Catalan Teorie kategorií Czech Категорисен теорийĕ CV Theori categori Welsh Kategoriteori Danish Kategorientheorie German
Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia rakenteita keskittymällä objektien välisiin suhteisiin ja yhteyksiin. Kategoriateorian peruskäsite on kategoria, jonka voidaan ajatella olevan tietty matemaattinen konteksti, jossa käsillä olevan matemaattisen teorian diskurssi tapahtuu. Kategorioita tavataan lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla, joten kategoriateoreettisia käsitteitä ja tuloksia voidaan käyttää matemaattisten teorioiden jäsentelyyn ja tutkimiseen. Kategorioita voidaan kuitenkin tutkia myös itsenäisinä olioina, ilman suoraa yhteyttä muihin matematiikan osa-alueisiin.
Kategoriateorian keskiössä ovat niin sanotut universaaliominaisuudet: oliot määritellään suhteessa kaikkiin tietyn kontekstin (eli kategorian) olioiden suhteen.[1] Tällä tavoin määritellyt oliot eivät siis ole olemassa itsenäisesti, vaan oleellisella tavalla riippuvat ja sisältävät informaatiota siitä kontekstista tai teoriasta, johon kuuluvat. Tärkeä kategoriateoreettinen tulos on Yonedan lemma, joka karkeasti ottaen sanoo, että kaikki kategorian objektit määräytyvät yksikäsitteisesti universaaliominaisuuksiensa kautta.[2]
Kategoriateoria syntyi puhtaan matematiikan osa-alueena homologisen algebran tarpeisiin, minkä jälkeen sitä on sovellettu ja kehitetty matematiikan sisällä muun muassa algebrallisen topologian, algebran ja matemaattisen logiikan yhteydessä. Tämän lisäksi kategoriateoriaa on sovellettu matematiikan ulkopuolella muun muassa tietojenkäsittelytieteessä, fysiikassa, teoreettisessa biologiassa, systeemiteoriassa ja kieliteknologiassa.