Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä.^[1] sovelluksena integraalilaskentaan.

Jos ${\displaystyle u=u(x)}$ ja ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$, kun taas ${\displaystyle v=v(x)}$ ja ${\displaystyle dv=v'(x)dx}$, osoittaisintegrointisäännön mukaan on

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa

${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$^[1]

Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli.^[1] Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.

Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.^[2][3]

1. ↑ ^{a b c} Lauri Myrberg: ”osittais­integrointi”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 240–245. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3
2. ↑ Brook Taylor History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Viitattu 21.11.2020.
3. ↑ Brook Taylor Stetson-edu. Arkistoitu 3.1.2018. Viitattu 21.11.2020.