Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. Tehtävänä on laskea integraali ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)dz}$, missä ${\displaystyle \Gamma }$ on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja ${\displaystyle f(z)}$ on analyyttinen ${\displaystyle \Gamma }$:ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä ${\displaystyle z_{0}}$. Tällöin funktio ${\displaystyle f(z)}$ voidaan esittää Laurentin sarjana ${\displaystyle f(z)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }a_{j}(z-z_{0})^{j}}$. Tällöin integraalin arvoksi saadaan ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)dz=2\pi ia_{-1}}$.^[1] Tässä ${\displaystyle a_{-1}}$ kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ reduaaliksi pisteessä ${\displaystyle z_{0}}$ ja merkitään ${\displaystyle Res(f;z_{0})}$ tai lyhyemmin ${\displaystyle Res(z_{0})}$.^[2]

Esimerkki 1: Tarkastellaan funktiota ${\displaystyle f(z)=ze^{3/z}}$ ja lasketaan integraali ${\displaystyle \int \limits _{|z|=4}ze^{3/z}dz}$, kun tiedetään, että funktiolla on residuaali pisteessä ${\displaystyle z=0}$.

Ratkaisu: Funktiolla ${\displaystyle e^{\omega }}$ on Taylorin sarja ${\displaystyle e^{\omega }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{j}}{j!}}}$. Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle ${\displaystyle ze^{3/z}}$ pisteen ${\displaystyle z=0}$ ympäristössä ${\displaystyle ze^{3/z}=z\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {3}{z}}\right)^{j}=z+3+{\frac {3^{2}}{2!z}}+{\frac {3^{3}}{3!z^{2}}}+\cdots }$. Tällöin ${\displaystyle Res(0)={\frac {3^{2}}{2!}}={\frac {9}{2}}}$. Koska piste ${\displaystyle z=0}$ on ainoa nollakohta ympyrän ${\displaystyle |z|=0}$ sisällä, saadaan integraalin arvoksi ${\displaystyle \int \limits _{|z|=4}ze^{3/z}dz=2\pi i{\frac {9}{2}}=9\pi i}$.^[2]

1. ↑ Saff ja Snider, s. 307
2. ↑ ^{a b} Saff ja Snider, s. 308