Yleistetty lineaarinen malli

Yleistetyt lineaariset mallit (engl. Generalized linear models) on laaja tilastotieteen malliluokka, jonka avulla voidaan mallintaa erityyppisiä ja eri jakaumia noudattavia vastemuuttujia. Lineaarinen malli on yksi yleistetyn lineaarisen mallin erikoistapaus, eikä se sovi käytettäväksi kaikissa tilanteissa sen oletuksista johtuen. Esimerkiksi positiivisien vasteiden, lukumäärävasteiden ja binomisten vasteiden mallinnukseen yleistetty lineaarinen malli sopii lineaarista mallia paremmin. Myös epälineaariset yhteydet muuttuja muunnostenkin jälkeen saattavat koitua lineaarisen mallin ongelmaksi, koska vakiovarianssioletus ei aina ole voimassa. Yleistettyjen lineaaristen mallien muita tunnettuja erikoistapauksia ovat logistinen malli ja Poisson-regressio.

Yleistetyt lineaariset mallit ovat siis klassisten lineaaristen mallien perheen sellainen laajennus, josta löytyy sopiva malli kaikkiin edellä olleisiin lineaarisen mallin kannalta ongelmallisiin esimerkkitilanteisiin. Yleistetyn lineaarisen mallin systemaattinen osa on edelleen lineaarinen, mutta se ei ole välttämättä suoraan Y_i:n odotusarvo, vaan mahdollisesti joku sen tunnettu muunnos.

${\displaystyle \operatorname {g} ({\boldsymbol {\mu _{i}}})=\sum _{j=1}^{p}x_{ij}{\boldsymbol {\beta _{j}}}={\boldsymbol {\eta _{i}}}}$

Kaavassa g() on jokin linkkifunktio, joka määrittää vastemuuttujan suhteen lineaariseen malliin. Linkkifunktiolle ei ole muita rajoitteita kuin, että se on monotoninen ja derivoituva. Linkkifunktioita ovat mm. g(µ_i) = log(µ_i) ja g(µ_i) = 1/µ_i.

Periaatteessa yleistetyt lineaariset mallit ovat läheistä sukua muunnettujen vasteiden lineaariselle mallille. Erona on se, että muunnos tehdään yleistetyissä lineaarisissa malleissa odotusarvolle eikä vastemuuttujalle. Etuna yleistettyjen lineaaristen mallien käytössä muunnettujen lineaaristen mallien sijaan on se, että varianssifunktion ei tarvitse olla vakio ja yleisesti yleistetyt lineaariset mallit tuottavat luotettavampia tuloksia.