Courbe

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En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe, ou ligne courbe, est un objet du plan ou de l'espace usuel, similaire à une droite mais non nécessairement linéaire. Par exemple, les cercles, les droites, les segments et les lignes polygonales sont des courbes.

La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :

• une courbe peut être décrite par un point qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension 1 ;
• une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi, une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique) :

${\displaystyle {\begin{cases}x=\xi (t)\\y=\eta (t)\end{cases}}}$ ; dans le cas d'une courbe régulière, on peut déterminer alors un paramétrage adapté (pour lequel le vecteur vitesse est unitaire), l’abscisse curviligne, qui permet également de définir la longueur ; la courbe peut aussi être représentée par la donnée d'une équation cartésienne, ou implicite : F(x,y) = 0.