Entier d'Eisenstein

En mathématiques, les entiers d'Eisenstein, nommés en l'honneur du mathématicien Gotthold Eisenstein, sont les nombres complexes de la forme

${\displaystyle z=a+b\,\omega }$

où a et b sont des entiers relatifs et

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} /3}}$

est une racine cubique primitive de l'unité (souvent autrement notée j). Les entiers d'Eisenstein forment un réseau triangulaire dans le plan complexe. Ils contrastent avec les entiers de Gauss qui forment un réseau carré dans le plan complexe. Ils constituent un exemple d'anneau des entiers d'un corps quadratique qui, comme tout anneau des entiers d'une extension finie du corps des rationnels, est un anneau de Dedekind.

Les entiers d'Eisenstein sont utilisés en arithmétique modulaire pour la résolution d'équations diophantiennes, par exemple dans une démonstration du dernier théorème de Fermat dans un cas élémentaire : celui de l'exposant 3. L'équation x² + 3y² = p, traitée dans l'article « Théorème des deux carrés de Fermat », possède aussi une méthode de résolution utilisant ces entiers.