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En mathématiques, un entier relatif, un entier rationnel ou simplement un nombre entier est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position[1] par rapport à 0 sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier 0 lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif[2].
Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (autre que zéro) « après la virgule ».
Les entiers relatifs permettent d'exprimer la différence de deux entiers naturels quelconques. Entre autres significations de la différence, on peut citer la position sur un axe orienté par rapport à un point de référence (un axe à positions discrètes, c'est-à-dire discontinues) ; le déplacement depuis une position d'origine, dans un sens ou dans l'autre ; ou encore la variation d'une valeur entière, donc comptée en unités (variation positive pour un gain, négative pour une perte).
L'ensemble des entiers relatifs est noté[3] « Z », lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, peu à peu supplantée par la graphie manuscrite avec une barre oblique ajourée : « ℤ ». La présence d'un astérisque en exposant (« Z* ») désigne l'ensemble des entiers relatifs non nuls. La notation « Z− » désigne l'ensemble des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z+ », remplacée par la notation « N » des entiers naturels par identification.
Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est aussi muni des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion d'anneau en algèbre.
Les entiers relatifs sont aussi appelés entiers rationnels[4],[5], appellation qui ne doit pas entraîner de confusion avec les nombres rationnels ou fractions. Cette dénomination vient de l'anglais rational integer, et désigne un cas particulier d'entiers algébriques, construit sur le corps de nombres des rationnels. On trouve cette appellation chez Nicolas Bourbaki[6] et certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques modernes, parmi lesquels Georges Papy.
- De cette position relative à zéro vient l'adjectif « relatif » appliqué à ces entiers.
- Selon certaines conventions différentes, en vigueur notamment dans les pays anglo-saxons, l'entier zéro n'est ni positif ni négatif (cf (en) Zero).
- De l'allemand Zahlen, « nombres ».
- G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 12.
- Mais le programme officiel de l'agrégation de mathématiques, et les sujets correspondants, utilisent l'appellation plus courante en France « entiers relatifs ».
- Cf. par exemple N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 2, no 5 (p. 28 d'une vieille version accessible en ligne) ou Roger Godement, Cours d'algèbre, § 5, no 8.