Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées de la façon suivante :

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

où ${\displaystyle a}$, le numérateur, est un entier relatif et ${\displaystyle b}$, le dénominateur, est un entier relatif non nul.

Par exemple, ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \textstyle {\frac {-5}{7}}}$ ou ${\displaystyle \textstyle {\frac {-3}{-9}}}$ sont des nombres rationnels.

Tout nombre entier ${\displaystyle n}$ est aussi un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme ${\displaystyle \textstyle {\frac {n}{1}}}$.

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}={\frac {3}{6}}=\ldots }$

Mais il existe une forme privilégiée d'écriture : tout nombre rationnel non nul s'exprime de manière unique comme fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux avec un dénominateur positif. On appelle cette expression une fraction irréductible. Dans l'exemple qui précède, c'est ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$ qui est la fraction irréductible.

Le développement décimal d'un nombre rationnel est soit fini, par exemple ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}=0,\!5}$, soit périodique au bout d'une certaine décimale, par exemple

${\displaystyle {\frac {3}{105}}=0,\!0285\underbrace {714285} \underbrace {714285} \underbrace {714285} \underbrace {7\ldots \ldots } }$

Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal fini ou périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895^[1] d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition :

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {m}{n}}\right|(m,n)\in \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\right\}}$

où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.