Nombre triangulaire

En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est 28. Une définition plus formelle de cette suite d'entiers s'obtient par récurrence : le premier nombre triangulaire est 1, et le n-ième est la somme de n et du précédent. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 (suite A000217 de l'OEIS). Il existe différentes manières de calculer le n-ième nombre triangulaire ; l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique. On trouve, si t_n désigne le n-ième nombre triangulaire :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad t_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$

où ${\displaystyle {i \choose j}}$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres triangulaires sont donc ceux de la troisième colonne du triangle de Pascal.

Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de Pythagore — et probablement connue depuis le début du V^e siècle av. J.-C.

Elle est citée par Alcuin au IX^e siècle dans un recueil de récréations mathématiques^[1].