Relation binaire

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En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ (ou simplement relation entre ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien ${\displaystyle E\times F}$, soit une collection de couples dont la première composante est dans ${\displaystyle E}$ et la seconde dans ${\displaystyle F}$. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sont dits en relation par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.

Par exemple, en géométrie plane, la relation d'incidence entre un point et une droite du plan « le point A est sur la droite d » est une relation binaire entre l'ensemble des points et l'ensemble des droites du plan. Les fonctions ou applications d'un ensemble ${\displaystyle E}$ dans un ensemble ${\displaystyle F}$ peuvent être vues comme des cas particuliers de relations binaires entre ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$.

Lorsque ${\displaystyle F=E}$, l'ordre des deux composantes d'un couple a son importance. Par exemple, la relation « … est strictement inférieur à … », notée <, sur l'ensemble N des entiers naturels est une relation sur N ; on note ${\displaystyle n<p}$ pour indiquer que ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle p}$ sont en relation. Le couple (1, 2) est un élément du graphe, contrairement au couple (2, 1).

La notion de relation peut être généralisée à plus de deux arguments, voir « Relation (mathématiques) ».