Hamiltonov operator
∇
{\displaystyle \nabla }
, što se izgovara kao nabla ili del , u trodimenzionalnom je Kartezijevom koordinatnom sustavu R 3 s koordinatama (x , y , z ) definiran operatorima parcijalnih derivacija
∇
≡
x
^
∂
∂
x
+
y
^
∂
∂
y
+
z
^
∂
∂
z
,
{\displaystyle \nabla \equiv {\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial z}},}
gdje su
{
x
^
,
y
^
,
z
^
}
{\displaystyle \{\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} \}}
jedinični vektori usmjereni kao koordinatne osi sustava.[ 1] [ 2] [ 3] Operator se često upotrebljava u fizici, u područjima od mehanike fluida do elektromagnetizma .
Kada djeluje na skalarna polja , njime se dobije gradijent . Kada se zdesna skalarno množi s vektorskim poljem dobije se divergencija tog polja. Kada se zdesna vektorski množi s vektorskim poljem, dobije se rotacija polja.[ 4] Hamiltonov operator skalarno pomnožen samim sobom daje Laplaceov operator za skalarna polja
Δ
=
d
e
f
∇
2
{\displaystyle \Delta {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\nabla ^{2}}
.[ 1]
Definicija se može poopćiti i na n -dimenzionalni Euklidski prostor R n . U Kartezijevom koordinatnom sustavu s koordinatama (x 1 , x 2 , ..., x n ), operator
∇
{\displaystyle \nabla }
se definira kao[ 4]
∇
=
∑
i
=
1
n
e
^
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}
gdje su
{
e
^
i
:
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle \{{\hat {e}}^{i}:1\leq i\leq n\}}
jedinični vektori u tom prostoru.
U Einsteinovoj notaciji, gdje se po ponovljenim indeksima provodi zbrajanje, ta se definicija može kraće napisati kao
∇
=
e
^
i
∂
i
{\displaystyle \nabla ={\hat {e}}^{i}\,\partial _{i}}
.
↑ a b Eric W. Weisstein. Nabla (engleski ). Pristupljeno 19. listopada 2020.
↑ VEKTORSKA ANALIZA . Inačica izvorne stranice arhivirana 28. prosinca 2019. Pristupljeno 19. listopada 2020.
↑ The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields (engleski ). Pristupljeno 19. listopada 2020.
↑ a b Hamilton operator . Encyclopedia of Mathematics . Pristupljeno 16. siječnja 2023.