Hipoteza kontinuuma

U matematici, hipoteza kontinuuma je hipoteza o mogućim veličinama beskonačnih skupova. Georg Cantor je uveo koncept kardinalnosti kako bi usporedio veličine beskonačnih skupova, i pokazao je da je skup cijelih brojeva strogo manji od skupa realnih brojeva. Hipoteza kontinuuma tvrdi sljedeće:

Ne postoji skup čija je veličina strogo između veličine skupa cijelih brojeva i veličine skupa realnih brojeva.

Ili matematički rečeno, ako uzmemo da je kardinalnost skupa cijelih brojeva ${\displaystyle |\mathbb {Z} |}$ jednaka ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-nula) a kardinalnost realnih brojeva ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ jednaka ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$, hipoteza kontinuuma glasi:

${\displaystyle \nexists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.}$

odnosno ne postoji skup A takav da je

${\displaystyle \aleph _{0}\ <k(A)<{\mathfrak {c}}}$^[1]

Ovo je ekvivalentno sa:

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Realni se brojevi također nazivaju kontinuumom, pa otuda dolazi ime. Postoji i poopćena hipoteza kontinuuma, koja glasi:

Za sve ordinale ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$

Cantor je ovo zapisao 1878. i pojam je i dalje otvoren problem. Prvi je od 23 Hilbertova problema iz 1900. godine.^[1]

1. ↑ ^{a b} Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu  Arhivirana inačica izvorne stranice od 4. kolovoza 2019. (Wayback Machine) Ivan Krijan: Skupovi, Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, str. 1. (pristupljeno 6. kolovoza 2019.)