Prsten (matematika)

Prsten (dulji naziv: prsten s jedinicom) je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvjema (svuda definiranim) binarnim operacijama koje možemo radi potrebe definicije označiti s + (zbrajanje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena) tako da vrijedi:

1) (R, +) je abelova grupa, tj. vrijedi:

• asocijativnost zbrajanja:

(a + b) + c = a + (b + c) za sve a, b, c ∈ R

• postoji neutralni element za zbrajanje

(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a za sve a ∈ R

• ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da

a + (-a) = (-a) + a = 0

• komutativnost zbrajanja

a + b = b + a za sve a, b ∈ R

2) (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno

(ab)c = a(bc) za sve a, b, c ∈ R

3) operacija množenja je distributivna u odnosu na zbrajanje:

∀ a, b, c ∈ R vrijedi :

a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Ponekad se u definiciji ne traži postojanje neutralnog elementa za množenje (jedinice). Većina matematičara, međutim, tada rabi dulji naziv prsten bez jedinice (engl. nonunital ring). Autori koji pod nazivom prsten ne podrazumijevaju postojanje jedinice ili žele naglasiti postojanje jedinice će za prsten u smislu ovog članka reći detaljnije prsten s jedinicom ili unitalni prsten.

Naziv prsten stvoren je po uzoru na Hilbertov naziv Zahlring (na njemačkom) pod kojim je promatrao prstenove brojeva.

Za prsten kažemo da je komutativan ako je množenje komutativna operacija.