Aljabar Lie

Grup Lie
Grup klasik Linear umum GL(n) Linear khusus LK(n) Ortogonal O(n) Ortogonal khusus OK(n) Uniter U(n) Uniter khusus UK(n) Simplektik Sp(n)
Grup Lie sederhana Klasik An Bn Cn Dn Eksepsional G2 F4 E6 E7 E8
Grup Lie lainnya Lingkaran Lorentz Poincaré Grup konformal Difeomorfisme Loop Euklides
Aljabar Lie Korespondensi grup Lie–aljabar Lie Peta eksponensial Representasi adjoin Bentuk Killing Indeks Simetri titik Lie Aljabar Lie sederhana
Aljabar Lie semisederhana Diagram Dynkin Subaljabar Cartan Sistem akar Grup Weyl Bentuk riil Kompleksifikasi Aljabar Lie slip Aljabar Lie kompak
Teori wakilan Representasi grup Lie Wakilan aljabar Lie Teori wakilan dari aljabar Lie semisederhana Wakilan dari grup Lie klasik Teorema bobot tertinggi Teorema Borel–Weil– Bott
Grup Lie dalam physics Fisika partikel dan teori repsentasi Representasi grup Lorentz Representasi grup Poincaré Representasi grup Galilea
Ilmuwan Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosarium Tabel grup Lie
l b s

Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • Ideal pecahan • Gelanggang hasil bagi total • Gelanggang produk • Produk bebas dari aljabar asosiatif • Produk tensor gelanggang Gelanggang homomorfisme • Kernel • Keautomorfan dalam • Endomorfisme Frobenius Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • Gelanggang bergradasi • Gelanggang involutif • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Gelanggang terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • Gelanggang non-asosiatif • Gelanggang Lie • Gelanggang Jordan • Semigelanggang • Semimedan
Aljabar komutatif Gelanggang komutatif • Ranah integral • Ranah tertutup secara integral • Ranah GCD • Ranah faktorisasi unik • Ranah ideal utama • Ranah Euklides • Medan • Medan hingga • Gelanggang komposisi • Gelanggang polinomial • Gelanggang deret kuasa/pangkat formal Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • Gelanggang bilangan bulat • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Derajat transendensi Teori bilangan dan desimal p-adik • Limit langsung/Limit invers • Gelanggang nol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Bilangan modulo pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer gelanggang-p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base-p gelanggang lingkaran ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base-p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Rasional p-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base-p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • Bilangan bulatp-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • Bilangan p-adik ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Salenoid p-adik ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar • Variasi Afin
Aljabar nonkomutatif Gelanggang nonkomutatif • Gelanggang pembagian • Gelanggang semiprimitif • Gelanggang sederhana • Komutator Geometri aljabar nonkomutatif Aljabar bebas Aljabar Clifford • Aljabar geometris Operasi aljabar
l b s

Dalam matematika, aljabar Lie (pengucapan /liː/ "Lee") adalah ruang vektor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bersama dengan operasi yang disebut braket Lie, peta bilinear bergantian ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\ (x,y)\mapsto [x,y]}$ adalah bagian dari identitas Jacobi.^[a] Ruang vektor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dengan operasi ini adalah aljabar non-asosiatif, yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu asosiatif.

Aljabar Lie berkaitan erat dengan grup Lie, yaitu grup dengan lipatan halus: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sebagai penghubung dengan grup Lie hingga penutupan (teorema ketiga Lie). Korespondensi ini memungkinkan untuk mempelajari struktur dan klasifikasi grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie.

Dalam fisika, grup Lie sebagai grup simetri dari sistem fisik, dan aljabar Lie (vektor tangen dekat identitas) sebagai gerakan simetri yang sangat kecil. Jadi aljabar Lie dan representasi mereka digunakan secara luas dalam fisika, terutama dalam mekanika kuantum dan fisika partikel.

Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ dengan operasi braket yang ditentukan oleh produk silang ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ Simetris-miring dari ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$, dan asosiatif, maka identitas Jacobi:

${\displaystyle x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).}$

Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie rotasi ruang, dan setiap vektor ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu v, dengan kecepatan yang sama dengan besaran v. Braket Lie adalah ukuran non-komutatif antara dua rotasi: karena rotasi berjalan dengan sendirinya, maka memiliki sifat ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$.
Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/> yang berkaitan