Bilangan segitiga

Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga ${\displaystyle n}$ adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik ${\displaystyle n}$ di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli ${\displaystyle n}$, yaitu dari ${\displaystyle 1}$ hingga ${\displaystyle n}$. Urutan angka segitiga (barisan A000217 pada OEIS), mulai dari angka segitiga ke-0, adalah

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.^[1][2]

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika ${\displaystyle T(a,b,c)}$ dan ${\displaystyle T(a_{1},b_{1},c_{1})}$ berkorelasi secara Smarandache, maka ${\displaystyle Z(a)=Z(a_{1})}$, ${\displaystyle Z(b)=Z(b_{1})}$ dan ${\displaystyle Z(c)=Z(c_{1})}$ dengan ${\displaystyle Z(\dots )}$ sebagai fungsi Smarandache.^[3]

1. ^ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
2. ^ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
3. ^ A Note on Smarandache Number Related Triangles, Hary Gunarto & AAK Majumdar, Scientia Magna, Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010.