Deret konvergen

Dalam matematika, deret takhingga (bahasa Inggris: Infinite sequence) adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga ${\displaystyle \left(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \right)}$. Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga S sebagai berikut

${\displaystyle S=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$

Hasil penjumlahan parsial ke-n (yang dinotasikan dengan S_n) adalah hasil jumlah n suku pertama barisan tersebut; yaitu,

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

Sebuah deret takhingga akan konvergen jika barisan ${\displaystyle \left(S_{1},S_{2},S_{3},\dots \right)}$ dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku ${\displaystyle a_{k+1}}$ ke ${\displaystyle S_{k}}$, maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan ${\displaystyle \ell }$ sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif ${\displaystyle \varepsilon }$ yang kecil, terdapat bilangan bulat ${\displaystyle N}$ (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap ${\displaystyle n\geq N}$, maka

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon }$

Jika deretnya konvergen, bilangan ${\displaystyle \ell }$ (yang bernilai tunggal) disebut sebagai hasil jumlah deretnya.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.