Fungsi aljabar

Dalam matematika, fungsi aljabar adalah fungsi yang bisa didefinisikan sebagai akar dari sebuah persamaan aljabar. Fungsi aljabar merupakan ekspresi aljabar menggunakan sejumlah suku terbatas, yang melibatkan operasi aljabar seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan menjadi pangkat pecahan. Contoh dari fungsi tersebut adalah:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Beberapa fungsi aljabar, tidak dapat diekspresikan oleh ekspresi berhingga (Teorema Abel–Ruffin)). Misalnya, fungsi secara implisit yang dapat didefinisikan oleh:

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

Dalam istilah yang lebih tepat, fungsi aljabar derajat n dalam satu variabel x adalah sebuah fungsi ${\displaystyle y=f(x),}$ yaitu kontinu dalam domain dan memenuhi persamaan aljabar

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

dimana koefisien a_i(x) adalah fungsi polinomial dari x , dengan koefisien integer. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi yang sama diperoleh jika bilangan aljabar diterima untuk koefisien a_i(x). Jika bilangan transendental muncul dalam koefisien, fungsinya secara umum bukan aljabar, tetapi ini adalah "aljabar di atas bidang yang dihasilkan oleh koefisien ini.

Nilai fungsi aljabar pada bilangan rasional, dan lebih umum lagi, pada bilangan aljabar selalu berupa bilangan aljabar. Terkadang, koefisien ${\displaystyle a_{i}(x)}$ pada polinomial di atas gelanggang R dianggap, dan kemudian berbicara tentang "fungsi aljabar di atas R".

Sebuah fungsi yang bukan aljabar disebut fungsi transendental, seperti pada contoh kasus ${\displaystyle \exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x)}$. Komposisi fungsi transendental dapat memberikan fungsi aljabar: ${\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Karena persamaan polinomial derajat n memiliki hingga akar n (dan tepat n akar di atas bidang tertutup aljabar, seperti bilangan kompleks), persamaan polinomial tidak secara implisit mendefinisikan fungsi tunggal, tetapi hingga n fungsi, terkadang juga disebut cabang. Pertimbangkan misalnya persamaan dari satuan lingkaran: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$ Ini menentukan y, kecuali sampai tanda keseluruhan; karenanya, ia mempunyai 2 cabang:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Fungsi aljabar dalam variabel m juga didefinisikan sebagai fungsi ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$ yang memecahkan persamaan polinomial dalam variabel m + 1:

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

Biasanya diasumsikan bahwa p harus berupa polinomial tak tersederhanakan. Keberadaan fungsi aljabar kemudian dijamin oleh teorema fungsi implisit.

Secara umum, fungsi aljabar dalam variabel m di atas bidang K adalah elemen dari penutupan aljabar dari bidang fungsi rasional K(x₁, ..., x_m).