Fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann atau fungsi zeta Euler–Riemann adalah fungsi variabel kompleks, dilambangkan dengan huruf Yunani ${\displaystyle \zeta }$ (zeta), yang dirumuskan sebagai berikut

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$, jika ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, dan melalui pengontinuan analitik jika ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)\leq 1}$ .^[2]

Fungsi ini memiliki peranan yang krusial pada teori bilangan analitik dan juga memiliki aplikasi pada fisika, teori probabilitas, dan statistika terapan.

Fungsi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler, namun awalnya ia memperkenalkan fungsi ini sebagai fungsi real pada abad ke-18. Kemudian, pada 1859, Bernhard Riemann memperluas definisi yang diberikan oleh Euler, menjadikan fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang meromorfik, memberikan persamaan fungsional untuk fungsi ini dan memaparkan hubungan antara nol dari fungsi ini dan distribusi bilangan prima, melalui artikelnya yang berjudul "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". Artikel ini juga memuat hipotesis Riemann, suatu konjektur tentang distribusi nol kompleks dari fungsi zeta Riemann. Banyak matematikawan berpandangan bahwa hipotesis ini merupakan salah satu masalah terpenting di bidang matematika murni.^[3]

Nilai dari fungsi zeta Riemann pada bilangan genap positif telah ditemukan oleh Euler. Nilai ${\displaystyle \zeta (2)}$, khususnya, menyelesaikan permasalahan Basel. Pada 1979, Roger Apéry membuktikan bahwa ${\displaystyle \zeta (3)}$ bernilai irasional. Euler juga menemukan nilai fungsi zeta Riemann pada bilangan bulat negatif yang merupakan bilangan rasional dan memiliki peranan penting pada bentuk modular. Fungsi zeta Riemann juga memiliki perumuman, seperti deret Dirichlet, fungsi-L Dirichlet, dan fungsi-L.

1. ^ "Jupyter Notebook Viewer". Nbviewer.ipython.org. Diakses tanggal 2017-01-04. 
2. ^ Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 November 2020). "Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines". Computational Methods and Function Theory. 20 (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x. ISSN 2195-3724. S2CID 216323223. "Teorema 2 menyiratkan bahwa fungsi ζ memiliki singularitas di tak terhingga."
3. ^ Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis – official problem description" (PDF). Clay Mathematics Institute. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-12-22. Diakses tanggal 2014-08-08.