Gelanggang (matematika)

Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • Ideal pecahan • Gelanggang hasil bagi total • Gelanggang produk • Produk bebas dari aljabar asosiatif • Produk tensor gelanggang Gelanggang homomorfisme • Kernel • Keautomorfan dalam • Endomorfisme Frobenius Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • Gelanggang bergradasi • Gelanggang involutif • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Gelanggang terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • Gelanggang non-asosiatif • Gelanggang Lie • Gelanggang Jordan • Semigelanggang • Semimedan
Aljabar komutatif Gelanggang komutatif • Ranah integral • Ranah tertutup secara integral • Ranah GCD • Ranah faktorisasi unik • Ranah ideal utama • Ranah Euklides • Medan • Medan hingga • Gelanggang komposisi • Gelanggang polinomial • Gelanggang deret kuasa/pangkat formal Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • Gelanggang bilangan bulat • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Derajat transendensi Teori bilangan dan desimal p-adik • Limit langsung/Limit invers • Gelanggang nol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Bilangan modulo pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer gelanggang-p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base-p gelanggang lingkaran ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base-p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Rasional p-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base-p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • Bilangan bulatp-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • Bilangan p-adik ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Salenoid p-adik ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar • Variasi Afin
Aljabar nonkomutatif Gelanggang nonkomutatif • Gelanggang pembagian • Gelanggang semiprimitif • Gelanggang sederhana • Komutator Geometri aljabar nonkomutatif Aljabar bebas Aljabar Clifford • Aljabar geometris Operasi aljabar
l b s

Dalam matematika, gelanggang (bahasa Inggris: ring) merupakan salah satu struktur aljabar yang dibahas dalam aljabar abstrak. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua operasi biner yang didasarkan pada operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada aritmetika diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti polinomial, deret, matriks, dan fungsi.

Gelanggang adalah grup abelian dengan operasi biner kedua yang bersifat asosiatif, distributif terhadap operasi dari grup tersebut, dan memiliki unsur identitas. Mengambil istilah aritmetika, operasi yang berasal dari grup disebut penjumlahan dan operasi yang kedua disebut perkalian.

Berlaku atau tidaknya sifat komutatif dalam suatu gelanggang memiliki akibat yang besar pada objek tersebut. Oleh karena itu, teori gelanggang komutatif, atau sering disebut juga aljabar komutatif, adalah topik penting dalam teori gelanggang. Perkembangannya dipengaruhi oleh permasalahan dan ide yang berasal dari teori bilangan aljabar dan geometri aljabar.

Konseptualisasi gelanggang dimulai pada 1870-an dan diselesaikan pada 1920-an. Kontributor utama di antaranya Dedekind, Hilbert, Fraenkel, dan Noether. Gelanggang pertama kali dirumuskan sebagai bentuk umum dari domain Dedekind yang terdapat di teori bilangan, dan dari gelanggang polinomial dan gelanggang invarian yang terdapat di geometri aljabar dan teori invarian. Selanjutnya, gelanggang dipergunakan di cabang-cabang matematika yang lain seperti geometri dan analisis matematis.