Gelanggang bertingkat

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, gelanggang bertingkat adalah gelanggang sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah jumlah langsung grup abelian ${\displaystyle R_{i}}$ dari ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$. Himpunan indeks biasanya himpunan bilangan bulat nonnegatif atau himpunan bilangan bulat, namun berupa monoid. Dekomposisi jumlah langsung biasanya disebut sebagai gradasi atau bertingkat.

Sebuah modul bertingkat didefinisikan sama (lihat di bawah untuk definisi yang tepat). Ini menggeneralisasi ruang vektor bertingkat. Modul bertingkat yang juga merupakan gelanggang bertingkat disebut aljabar bertingkat. Gelanggang bertingkat juga dapat dilihat sebagai aljabar-${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bertingkat.

Asosiatif tidak penting (bahkan tidak digunakan sama sekali) dalam definisi gelanggang bertingkat; karenanya, gagasan tersebut juga berlaku untuk aljabar non-asosiatif; misalnya, apabila mempertimbangkan aljabar Lie bertingkat.