Matriks Jacobi

Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, J_f, ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$, dan ${\displaystyle {\tfrac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$. Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.^[1]

Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi f di setiap titik f terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik x, matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar x. Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau turunan total dari f di x. Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari f. Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.

Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}$. Vektor ini adalah transpos dari gradien f, sehingga ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}$. Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, f : R → R, matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi f.

1. ^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 3 November 2017. Diakses tanggal 2 May 2018.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)