Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {B} }$ dengan ukuran yang sama dengan ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dan memenuhi hubungan:

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }$

dengan ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ melambangkan matriks identitas berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dan diberi lambang ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran ${\displaystyle m\!\times \!n}$ dan ${\displaystyle m\neq n}$) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\!\times \!n}$ dengan rank ${\displaystyle n}$ (nilai ${\displaystyle n\leq m}$), maka ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!m}$ yang memenuhi hubungan ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.}$ Sedangkan jika rank matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah ${\displaystyle m}$ (nilai ${\displaystyle m\leq n}$), maka ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!m}$ yang memenuhi hubungan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.}$