Ranah integral

Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • Ideal pecahan • Gelanggang hasil bagi total • Gelanggang produk • Produk bebas dari aljabar asosiatif • Produk tensor gelanggang Gelanggang homomorfisme • Kernel • Keautomorfan dalam • Endomorfisme Frobenius Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • Gelanggang bergradasi • Gelanggang involutif • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Gelanggang terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • Gelanggang non-asosiatif • Gelanggang Lie • Gelanggang Jordan • Semigelanggang • Semimedan
Aljabar komutatif Gelanggang komutatif • Ranah integral • Ranah tertutup secara integral • Ranah GCD • Ranah faktorisasi unik • Ranah ideal utama • Ranah Euklides • Medan • Medan hingga • Gelanggang komposisi • Gelanggang polinomial • Gelanggang deret kuasa/pangkat formal Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • Gelanggang bilangan bulat • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Derajat transendensi Teori bilangan dan desimal p-adik • Limit langsung/Limit invers • Gelanggang nol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Bilangan modulo pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer gelanggang-p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base-p gelanggang lingkaran ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base-p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Rasional p-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base-p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • Bilangan bulatp-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • Bilangan p-adik ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Salenoid p-adik ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar • Variasi Afin
Aljabar nonkomutatif Gelanggang nonkomutatif • Gelanggang pembagian • Gelanggang semiprimitif • Gelanggang sederhana • Komutator Geometri aljabar nonkomutatif Aljabar bebas Aljabar Clifford • Aljabar geometris Operasi aljabar
l b s

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, sebuah ranah integral atau domain integral adalah gelanggang komutatif bukan nol dimana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.^[1][2] Ranah integral adalah generalisasi dari gelanggang bilangan bulat dan pengaturan untuk mempelajari keterbagian. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol a memiliki sifat pembatalan, yaitu jika a ≠ 0, persamaan ab = ac mengartikan b = c.

"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki identitas perkalian, umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian.^[3][4] Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima.^[5] Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "ranah" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.

Beberapa sumber, terutama Lang, menggunakan istilah seluruh gelanggang untuk ranah integral.^[6]

Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut inklusi kelas:

gelang ⊃ gelanggang ⊃ gelanggang komutatif ⊃ ranah integral ⊃ ranah tertutup integral ⊃ Ranah FPB ⊃ ranah faktorisasi unik ⊃ ranah ideal utama ⊃ ranah Euklidean ⊃ medan ⊃ medan aljabar tertutup

1. ^ Bourbaki, p. 116.
2. ^ Dummit dan Foote, hal. 228.
3. ^ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
4. ^ I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
5. ^ J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
6. ^ Pages 91–92 of Templat:Lang Algebra