Ruang vektor bernorma

Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (Januari 2021) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Dalam matematika, ruang vektor bernorma atau ruang bernorma adalah ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan.^[1] Norma adalah formalisasi dan generalisasi ke ruang vektor riil dari pengertian intuitif "panjang". Norma adalah fungsi bernilai riil yang ditentukan pada ruang vektor yang biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle x\mapsto \|x\|,}$ dan memiliki sifat berikut:

1. Itu tidak negatif, yaitu untuk setiap vektor x, satu memiliki ${\displaystyle \|x\|\geq 0.}$
2. Ini positif pada vektor bukan nol, yaitu,

   ${\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}$

3. Untuk setiap vektor x, dan setiap skalar ${\displaystyle \alpha ,}$

   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}$

4. Segitiga pertidaksamaan berlaku; yaitu, untuk setiap vektor x dan y, satu memiliki

   ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Sebuah norma menginduksi sebuah jarak dengan rumus

${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$

yang membuat ruang vektor bernorma menjadi ruang metrik dan ruang vektor topologis. Jika metrik ini ${\displaystyle d}$ adalah lengkap maka ruang normed disebut Ruang Banach . Setiap ruang vektor bernorma dapat "diperluas secara unik" ke ruang Banach, yang membuat ruang bernorma terkait erat dengan ruang Banach. Setiap ruang Banach adalah ruang bernorma tetapi sebaliknya tidak harus benar. Contoh: Satu himpunan urutan berbatas. Studi tentang ruang bernorma dan ruang Banach merupakan bagian fundamental dari analisis fungsional, yang merupakan subbidang utama matematika.

Sebuah ruang hasil kali dalam menjadi ruang bernorma jika norma sebuah vektor adalah akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor itu sendiri. Jarak Euklides dalam ruang Euklides terkait dengan norma ruang vektor terkait (yang merupakan ruang hasil kali dalam) dengan rumus

${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$

1. ^ Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.