Teorema bilangan prima

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Prime number theorem di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam teori bilangan, teorema bilangan prima (TBP) menjelaskan asimtotik, distibusi dari bilangan prima di antara bilangan bulat positif. Teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 menggunakan ide-ide yang diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (khususnya, fungsi zeta Riemann).

Distribusi pertama yang ditemukan adalah ${\displaystyle \pi (N)\sim {\frac {N}{\ln(N)}}}$, dimana ${\displaystyle \pi (N)}$ adalah fungsi penghitungan bilangan prima dan ${\displaystyle \ln(N)}$ adalah logaritma alami . Ini berarti, untuk yang cukup besar, kemungkinan bahwa sebuah bilangan bulat acak tidak lebih besar dari ${\displaystyle N}$ adalah bilangan prima yang sangat dekat ke ${\displaystyle {\frac {1}{\ln(N)}}}$. Karena itu, sebuah bilangan bulat acak dengan paling banyak ${\displaystyle 2n}$ digit (untuk ${\displaystyle n}$ yang cukup besar) kemungkinannya sekitar setengahnya menjadi bilangan prima sebagai bilangan bulat acak dengan paling banyak ${\displaystyle n}$ digit.

Sebagai contoh, antara bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah bilangan prima (${\displaystyle \ln(10^{1000})\approx 2302.6}$), sedangkan di antara bilangan bulat paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah bilangan prima (${\displaystyle \ln(10^{2000})\approx 4605.2}$). Dengan kata lain, jarak rata-rata antara bilangan prima berurutan sekitar bilangan bulat ${\displaystyle N}$ pertama kira-kira ${\displaystyle \ln(N)}$.^[1]

1. ^ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. hlm. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.