Urutan rapi

Dalam matematika, sebuah urutan rapi atau relasi rapi) pada sebuah himpunan ${\displaystyle S}$ adalah sebuah urutan total pada ${\displaystyle S}$ dengan sifat bahwa setiap himpunan bagian takkosong ${\displaystyle S}$ memiliki sebuah unsur terkecil dalam urutannya. Himpunan ${\displaystyle S}$ bersama dengan relasi urutan rapi kemudian disebut sebuah himpunan terurut rapi. Dalam beberapa artikel dan buku ajar akademik, istilah ini sebagai gantinya ditulis sebagai urut rapi, terurut rapi, dan pengurutan rapi.

Setiap himpunan terurut rapi takkosong memiliki sebuah unsur terkecil. Setiap unsur ${\displaystyle s}$ mengenai sebuah himpunan terurut rapi, kecuali sebuah unsur terbesar mungkin; memiliki sebuah penerus tunggal (unsur selanjutnya), yaitu unsur terkecil dari himpunan bagian semua unsur lebih besar dari ${\displaystyle s}$. Mereka mungkin menjadi unsur-unsur selain unsur terkecil yang tidak memiliki pendahulunya (lihat Bilangan asli di bawah untuk sebuah contoh). Dalam sebuah himpunan terurut ${\displaystyle S}$, setiap himpunan bagian ${\displaystyle T}$ yang memiliki sebuah batas atas memiliki sebuah batas atas terkecil, yaitu unsur terkecil dari himpunan bagian semua batas atas ${\displaystyle T}$ di ${\displaystyle S}$.

Jika ${\displaystyle \leq }$ adalah sebuah urutan rapi taksempurna, maka ${\displaystyle <}$ adalah sebuah urutan rapi sempurna. Sebuah hubungan ialah sebuah urutan rapi sempurna jika dan hanya jika merupakan sebuah urutan total sempurna beralasan. Perbedaan antara urutan rapi sempurna dan taksempurna sering kali diabaikan ketika mereka dengan mudah melakukan antarubahan.

Setiap himpunan terurut rapi adalah isomorfik urutan dengan tunggal ke sebuah bilangan ordinal tunggal, disebut tipe urutan dari himpunan terurut rapi. Teorema urutan rapi, yang setara dengan aksioma pemilihan, menyatakan bahwa setiap himpunan dapat menjadi terurut rapi. Jika sebuah himpunan adalah terurut rapi (atau bahkan jika hanya mengakui sebuah relasi beralasan), teknik pembuktian induksi transitif dapat digunakan bahwa sebuah pernyataan yang diberikan adalah benar untuk semua unsur dari himpunan.

Pengamatannya bahwa bilangan asli adalah terurut rapi oleh relasi lebih kecil dari biasa secara umum disebut prinsip urutan rapi (untuk bilangan asli).