In matematica, soprattutto in analisi funzionale, un'algebra di Banach, dal nome del matematico Stefan Banach, è un'algebra associativa A sui numeri reali o sui numeri complessi che è anche uno spazio di Banach. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla seguente diseguaglianza:
cioè la norma del prodotto è minore o uguale del prodotto delle norme. Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione è una funzione continua.
Se si sostituisce lo spazio di Banach con uno spazio normato la struttura che si ottiene è detta algebra normata.
Un'algebra di Banach è detta "unitaria" o "con unità" se ha un elemento identità per l'operazione di moltiplicazione la cui norma è 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione è commutativa.
Le algebre di Banach possono essere definite anche su campi di numeri p-adici. Ciò dà origine all'analisi p-adica.
Una *-algebra di Banach è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione , detta involuzione.