Algebra di Banach

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In matematica, soprattutto in analisi funzionale, un'algebra di Banach, dal nome del matematico Stefan Banach, è un'algebra associativa A sui numeri reali o sui numeri complessi che è anche uno spazio di Banach. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla seguente diseguaglianza:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|,}$

cioè la norma del prodotto è minore o uguale del prodotto delle norme. Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione è una funzione continua.

Se si sostituisce lo spazio di Banach con uno spazio normato la struttura che si ottiene è detta algebra normata.

Un'algebra di Banach è detta "unitaria" o "con unità" se ha un elemento identità per l'operazione di moltiplicazione la cui norma è 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione è commutativa.

Le algebre di Banach possono essere definite anche su campi di numeri p-adici. Ciò dà origine all'analisi p-adica.

Una *-algebra di Banach ${\displaystyle A}$ è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione ${\displaystyle *:A\to A}$, detta involuzione.