Assioma della scelta

L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904^[1]. Esso afferma che

In termini non formali, l'assioma assicura che, quando viene data una collezione di insiemi non vuoti si può sempre costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito, l'assioma della scelta non è necessario poiché gli altri assiomi della teoria degli insiemi sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'assioma della scelta appunto.

Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è quello di Bertrand Russell: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini (supponendo che il destro e il sinistro non siano distinguibili), e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste bisogna invocare l'assioma della scelta.

L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo AC (dall'inglese Axiom of Choice), soprattutto nell'ambito della logica matematica.