Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo ${\displaystyle G}$, il centro ${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle G}$ è il sottoinsieme di ${\displaystyle G}$ costituito dagli elementi di ${\displaystyle G}$ che commutano con tutti gli elementi di ${\displaystyle G}$ (compresi quelli non appartenenti a ${\displaystyle C}$),^[1] in formule:

${\displaystyle C:=\{c\in G\mid gc=cg{\text{ per ogni }}g\in G\}.}$

Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo abeliano, chiaramente, ${\displaystyle C=G}$.

${\displaystyle C}$ è un sottogruppo abeliano e anche un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$: infatti, presi ${\displaystyle c\in C}$ e ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle gc=cg}$ implica ${\displaystyle gcg^{-1}=cgg^{-1}=c1_{G}=c}$. Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente ${\displaystyle G/C}$. In particolare vale che il centro è un sottogruppo caratteristico, ovvero è invariante per ogni automorfismo.