Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una ${\displaystyle n}$-varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ ha una dimensione ${\displaystyle k}$ minore o uguale a ${\displaystyle n}$. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come ${\displaystyle k}$-forma. Nel caso ${\displaystyle k=0}$, la forma ${\displaystyle \omega }$ è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza ${\displaystyle \omega }$ è la possibilità di effettuare l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su un qualsiasi oggetto geometrico ${\displaystyle \Gamma }$, di analoga dimensione ${\displaystyle k}$, di una generica ${\displaystyle n}$-varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

${\displaystyle \int _{\Gamma }\omega }$

Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.